[알고리즘] 다익스트라(Dijkstra) 최단 경로 알고리즘

이것이 취업을 위한 코딩 테스트다. with 파이썬 책을 참고하여 정리한 내용입니다.

최단 경로(Shortest Path)

최단 경로(Shortest Path)알고리즘은 말그대로 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘이다. ‘길 찾기’ 문제라고도 불린다. 최단 경로 알고리즘 유형에는 다양한 종류가 있는데, 상황에 맞는 효율적인 알고리즘이 이미 정립되어 있다고 한다.

✅ 다익스트라(Dijkstra) 최단 경로 알고리즘

다익스트라(Dijkstra) 최단 경로 알고리즘은 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘이다. 이 알고리즘은 ‘음의 간선’이 없을 때 정상적으로 동작한다.

음의 간선이란 0보다 작은 값을 가지는 간선을 의미하는데, 현실 세계의 길(간선)은 음의 간선으로 표현되지 않으므로 다익스트라 알고리즘은 실제 GPS 소프트웨어의 기본 알고리즘으로 채택되곤 한다.

다익스트라 최단 경로 알고리즘은 기본적으로 그리디 알고리즘으로 분류된다. 매번 ‘가장 비용이 적은 노드’를 선택해서 임의의 과정을 반복하기 때문이다. 알고리즘의 원리는 다음과 같다.

1. 출발 노드를 설정한다.
2. 최단 거리 테이블을 초기화한다.
3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
5. 위 과정에서 3과 4번을 반복한다.

✔️ 방법 1. 간단한 다익스트라 알고리즘

간단한 다익스트라 알고리즘 구현 방법은 $O(V^2)$의 시간 복잡도를 가진다. $V$는 노드의 개수를 의미한다. 처음에 각 노드에 대한 최단 거리를 담는 1차원 리스트를 선언한다. 이후 단계마다 '방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택'하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(순차 탐색)한다.

import sys
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, sys.stdin.readline().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n + 1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[i]
    # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n-1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost
dijkstra(start)

✔️ 방법 2. 개선된 다익스트라 알고리즘

개선된 다익스트라 알고리즘 구현 방법은 최악의 경우에도 $O(ElogV)$의 시간 복잡도를 보장한다. 여기서 $V$는 노드의 개수이고, $E$는 간선의 개수를 의미한다. 개선된 다익스트라 알고리즘에서는 힙(Heap) 자료구조를 사용한다.(힙(Heap) 자료구조 포스트)

우선순위 큐를 적용하여도 다익스트라 알고리즘이 동작하는 기본 원리는 동일하다. 최단 거리를 저장하기 위한 1차원 리스트(최단 거리 테이블)는 그대로 사용하고, 현재 가장 가까운 노드를 저장하기 위한 목적으로만 우선순위 큐를 추가로 이용한다고 보면 된다. 위의 코드와 비교했을 때 get_smallest_node()라는 함수를 작성할 필요가 없다. 이를 우선순위 큐를 이용하는 방식으로 대체할 수 있기 때문이다.

import sys
import heapq
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, sys.stdin.readline().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
dijkstra(start)