[알고리즘] 서로소 집합
이것이 취업을 위한 코딩 테스트다. with 파이썬책을 참고하여 정리한 내용입니다.
✅ 서로소 집합(Disjoint Sets)
수학에서 서로소 집합(Disjoint Sets)이란 공통 원소가 없는 두 집합을 의미한다. 예를 들어 {1, 2}와 {3, 4}는 서로소 관계, {1, 2}와 {2, 3}은 2라는 원소가 공통으로 포함되어 있기 때문에 서로소 관계가 아니다.
서로소 집합 자료구조란 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조라고 할 수 있다. 서로소 집합 자료구조는 union과 find 이 2개의 연산으로 조작할 수 있다.
union(합집합) 연산은 원소가 포함된 2개의 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산이다.find(찾기) 연산은 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산이다.
서로소 집합 자료구조를 구현할 때는 트리 자료구조를 이용하여 집합을 표현하는데, 알고리즘은 다음과 같다.
- union(합집합) 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인한다.
Ⅰ. A와 B의 루트 노드 A’, B’를 각각 찾는다.
Ⅱ. A’를 B’의 부모 노드로 설정한다(B’가 A’를 가리키도록 한다). - 모든 union(합집합) 연산을 처리할 때까지
1번 과정을 반복한다.
실제로 구현할 때는 A’과 B’ 중에서 더 작은 번호의 원소가 부모 노드가 되도록 구현하는 경우가 많다. ‘가리킨다’라는 표현은 부모 노드로 설정한다는 의미이다.
🗒️ 기본적인 서로소 집합 알고리즘 소스코드
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# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
return find_parent(parent, parent[x])
return x
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
# 부모 테이블에서 부모를 자기 자신으로 초기화
parent = list(range(v + 1))
# union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
a, b = map(int, input().split())
union_parent(parent, a, b)
# 각 원소가 속한 집합 출력
print('각 원소가 속한 집합 : ', end='')
for i in range(1, v + 1):
print(find_parent(parent, i), end=' ')
print()
# 부모 테이블 내용 출력
print('부모 테이블 : ', end='')
for i in range(1, v + 1):
print(parent[i], end=' ')
예제 입력
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예제 출력
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각 원소가 속한 집합 : 1 1 1 1 5 5
부모 테이블 : 1 1 2 1 5 5
🗒️ 경로 압축 기법 소스코드
위와 같이 구현하면 find 함수가 비효율적으로 동작한다. 최악의 경우 find 함수가 모든 노드를 다 확인하기 때문에 시간 복잡도가 $O(V)$가 된다. 이러한 find 함수는 경로 압축(Path Compression) 기법을 적용하면 시간 복잡도를 개선시킬 수 있다. 경로 압축은 find 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블 값을 갱신하는 기법이다. 기존의 find 함수를 아래와 같이 변경하면 된다.
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# 경로 압축 기법
def find_parent(parent, x):
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
🗒️개선된 서로소 집합 알고리즘 코드
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# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
# 부모 테이블에서 부모를 자기 자신으로 초기화
parent = list(range(v + 1))
# union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
a, b = map(int, input().split())
union_parent(parent, a, b)
# 각 원소가 속한 집합 출력
print('각 원소가 속한 집합 : ', end='')
for i in range(1, v + 1):
print(find_parent(parent, i), end=' ')
print()
# 부모 테이블 내용 출력
print('부모 테이블 : ', end='')
for i in range(1, v + 1):
print(parent[i], end=' ')
예제 입력
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예제 출력
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각 원소가 속한 집합 : 1 1 1 1 5 5
부모 테이블 : 1 1 1 1 5 5
✅ 서로소 집합 알고리즘의 시간 복잡도
노드의 개수가 V개이고 최대 V - 1개의 union 연산과 M개의 find 연산이 가능할 때 경로 압축 방법을 적용한 시간 복잡도는 $O(V + M(1 + log_{2-M/V}V))$ 라고 한다.
✅ 서로소 집합을 이용한 사이클 판별
서로소 집합은 다양한 알고리즘에 사용될 수 있는데, 특히 무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 때 사용할 수 있다는 특징이 있다. 참고로 방향 그래프에서의 사이클 여보는 DFS를 이용하여 판별할 수 있다고 한다.
간선을 하나씩 확인하면서 두 노드가 포함되어 있는 집합을 합치는 과정을 반복해 사이클을 판별할 수 있다. 알고리즘은 다음과 같다.
- 각 간선을 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다. Ⅰ. 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 union 연산을 수행한다.
Ⅱ. 루트 노드가 서로 같다면 사이클(Cycle)이 발생한 것이다. - 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여
1번 과정을 반복한다.
🗒️ 서로소 집합을 활용한 사이클 판별 소스코드
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# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
# 부모 테이블에서 부모를 자기 자신으로 초기화
parent = list(range(v + 1))
cycle = False # 사이클 발생 여부
for i in range(e):
a, b = map(int, input().split())
# 사이클이 발생한 경우 종료
if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
cycle = True
break
# 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(union) 수행
else:
union_parent(parent, a, b)
if cycle:
print("사이클 발생")
else:
print("사이클 발생하지 않음")
예제 입력
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