[알고리즘] 위상 정렬(Topology Sort)

이것이 취업을 위한 코딩 테스트다. with 파이썬 책을 참고하여 정리한 내용입니다.

✅ 위상 정렬(Topology Sort)

위상 정렬(Topology Sort)은 방향 그래프의 모든 노드를 '방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것'으로 정렬 알고리즘의 일종이다. 위상 정령의 전형적인 예시로는 ‘선수과목을 고려한 학습 순서 설정’이 있다. 예를 들어 ‘자료구조’를 수강한 다음 ‘알고리즘’강의를 수강해야 하는 경우, ‘자료구조’ 및 ‘알고리즘’을 각각의 노드로 표현하고 ‘자료구조’에서 ‘알고리즘’으로 이어질 수 있도록 방향성을 갖는 간선을 그릴 수 있다.

위상 정렬 알고리즘을 자세히 살펴보기 전에, 먼저 진입차수(Indegree)를 알아야 한다. 진입차수란 특정한 노드로 '들어오는' 간선의 개수를 의미한다. 위상 정렬을 수행하는 구체적인 알고리즘은 다음과 같다.

1. 진입차수가 0인 노드를 큐에 넣는다.
2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다. Ⅰ. 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 출발하는 간선을 그래프에서 제거한다.
   Ⅱ. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.

이때 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사키을이 존재한다고 판단할 수 있다. 기본적인 위상 정렬 문제에서는 사이클이 발생하지 않는다고 명시하는 경우가 더 많아, 사이클이 발생하는 경우는 고려하지 않는다(사이클이 발생하는 경우는 2절의 실전 문제에 있으니 확인해보자).

위상 정렬의 답안은 여러 가지가 될 수 있다는 점이 특징이다. 한 단계에서 큐에 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상인 경우가 있다면, 여러가지의 답이 존재하게 된다.

✅ 위상 정렬의 시간 복잡도

위상 정렬의 시간 복잡도는 노드와 간선을 모두 확인한다는 측면에서 $O(V+E)$이다.

🗒️ 위상 정렬 소스코드

from collections import deque

# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트(그래프) 초기화
graph = [[] for _ in range(v + 1)]

# 방향 그래프와 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b) # 정점 a에서 b로 이동 가능
    indegree[b] += 1 # 진입차수를 1 증가

# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
    result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용

    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1, v + 1):
        if indegree[i] == 0:
            q.append(i)

    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q:
        # 큐에서 원소 꺼내기
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수 1 빼기
        for i in graph[now]:
            indegree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
            if indegree[i] == 0:
                q.append(i)

    # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
    for i in result:
        print(i, end=' ')

topology_sort()

예제 입력

7 8
1 2
1 5
2 3
2 6
3 4
4 7
5 6
6 4

예제 출력

1 2 5 3 6 4 7