[알고리즘] 크루스칼 알고리즘(Kruskal Algorithm)

이것이 취업을 위한 코딩 테스트다. with 파이썬 책을 참고하여 정리한 내용입니다.

✅ 신장 트리

신장 트리(Spanning Tree)란 하나의 그래프가 있을 때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프를 의미한다. 이때 모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는다는 조건은 트리의 성립조건이기도하다.

✅ 크루스칼 알고리즘(Kruskal Algorithm)

신장 트리 중에서 최소 비용으로 만들 수 있는 신장트리를 찾는 알고리즘을 ‘최소 신장 트리 알고리즘’이라고 한다. 대표적인 최소 신장 트리 알고리즘이 크루스칼 알고리즘(Kruskal Algorithm)이다. 크루스칼 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류된다. 구체적인 알고리즘은 다음과 같다.

1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬한다.
2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인한다. Ⅰ. 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함시킨다.
   Ⅱ. 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않는다.
3. 모든 간선에 대하여 2번 과정을 반복한다.

최종적으로 신장 트리에 포함되는 간선의 개수가 ‘노드의 수 - 1’과 같다는 특징이 있다.

✅ 크루스칼 알고리즘 시간 복잡도

간선의 개수가 $E$개일 때, $O(ElogE)$의 시간 복잡도를 가진다. 크루스칼 알고리즘에서 가장 시간이 오래 걸리는 부분이 간선을 정렬하는 작업이며, 크루스칼 내부에서 사용되는 서로소 집합 알고리즘의 시간 복잡도는 정렬 알고리즘의 시간 복잡도보다 작으므로 무시한다.

🗒️ 크루스칼 알고리즘 소스코드

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = list(range(v + 1)) # 부모 테이블 초기화

# 모든 간선을 담을 리스트와 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0

# 모든 간선에 대한 정보를 입력받기
for _ in range(e):
    a, b, cost = map(int, input().split())
    # 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
    edges.append((cost, a, b))

# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()
# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
    cost, a, b = edge
    # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
    if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
        union_parent(parent, a, b)
        result += cost

print(result)

예제 입력

7 9
1 2 29
1 5 75
2 3 35
2 6 34
3 4 7
4 6 23
4 7 13
5 6 53
6 7 25

예제 출력

159